George Cantor. Teoría de números y conjuntos

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10 de maig de 2023

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Calatayud

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CONFERENCIA. MIÉRCOLES 10 DE MAYO

George Cantor construye un sistema de números que va de los racionales finitos pero ilimitados a los transfinitos. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos, fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los número transfinitos (cardinales y ordinales).

En su época eran bien conocidos los racionales pero no los irracionales, algebraicos o reales. Comenzando con las series trigonométricas y con un axioma "de continuidad" básico, que asigna a cada punto de la recta real un número, su abscisa, y viceversa, de manera que lo que se haga con los puntos de la recta hecho quedará con los números, va dando pasos que incluyen la numerabilidad de racionales y algebraicos, la no numerabilidad de reales, la creación de una teoría de irracionales, así como la prueba de una biyección ℝp ⟷ ℝq con p≠q, lo que revolucionó la teoría de la dimensión.

En el camino surgen los puntos límite, conjuntos derivados etc. Pasa luego a los transfinitos, cardinales y ordinales, previa introducción de los conjuntos ordenados. Y dado el axioma de continuidad caracterizar los números es caracterizar el continuo. Cantor no crea una teoría de conjuntos como producto de una especulación gratuita, es el instrumento más eficaz para su construcción del sistema de números. Las sutilezas lógicas no le preocupan mucho.